berührt die Spezialgebiete

• Mathematik
  • Topologie

ist Spezialfall von

• Mengensystem

umfasst als Spezialfälle

• parakompakter Raum
  • kompakter Raum
• Kolmogoroff-Raum
• präregulärer-Raum
  • Hausdorff-Raum
    • parakompakter Hausdorff-Raum

Eine Topologie ist eine Familie von als offen genannten Teilmengen der Grundmenge X (und ist damit eine Teilmenge der Potenzmenge von X), die folgenden Axiomen genügt:

• Die leere Menge und die Grundmenge X sind offene Mengen.
• Der Durchschnitt endlich vieler offener Mengen ist eine offene Menge.
• Die Vereinigung beliebig vieler offener Mengen ist eine offene Menge.

Eine Menge X zusammen mit einer Topologie auf X heißt topologischer Raum. Eine Teilmenge von X, deren Komplement offene Menge ist, heißt abgeschlossen.

Eine Topologie ist feiner als eine Topologie , wenn jede offene Menge von auch offen in ist. heißt dann gröber als .

Weitere Begriffe in dem Zusammenhang mit topologischen Räumen sind in dem Topologie-Glossar zusammengefasst.

1. Auf jeder Grundmenge existieren als triviale Beispiele von Topologien:
   1. Die indiskrete (oder chaotische) Topologie, die ca. die leere Menge und die Grundmenge enthaelt.
   2. Die diskrete Topologie, die alle Teilmengen enthält.
2. Das System der offenen Teilmengen eines metrischen Raums ist eine Topologie.
3. Als etwas ungewöhnlicheres Beispiel existiert auf einer unendlichen Menge M (z.B. der Menge der natürlichen Zahlen) die kofinite Topologie: Offen sei die leere Menge sowie jede Teilmenge von M, deren Komplement ca. endlich viele Elemente enthält.

Im Hinblick auf geometrische Anwendungen werden die Elemente der Grundmenge häufig als Punkte genannt.

Umgebungen eines Punktes werden dann definiert als Obermengen von offenen Mengen, die den Punkt enthalten.

Umgekehrt charakterisieren die Umgebungen die offenen Mengen:

• Eine Menge ist offen exakt dann, wenn sie mit jedem ihrer Punkte auch eine Umgebung dieses Punktes enthält. (Dieser Satz erklärt die Verwendung des Wortes offen für den oben definierten mathematischen Begriff.)

H. Schubert: Topologie, Teubner, Stuttgart 1964, ISBN 3519122006

Weitere mathematische Räume siehe unter Raum (Mathematik)